Modélisation statistique

class: center, middle, inverse, title-slide

# Modélisation statistique
## #2.a Interprétation des paramètres du modèle linéaire
### <br> <br> Dr. Léo Belzile <br> HEC Montréal

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## Interprétation des coefficients du modèle linéaire

On considère le modèle linéaire
`\begin{align*}
Y = \beta_0 + \beta_1\mathrm{X}_1 + \cdots + \beta_p\mathrm{X}_p + \varepsilon,
\end{align*}`
où `\(\varepsilon\)` est un aléa de moyenne zéro.

- `\(\beta_0\)` est la moyenne de la réponse quand `\(\mathrm{X}_1, \ldots, \mathrm{X}_p\)` sont conjointement nulles.
- `\(\beta_j\)` `\((1 \leq j \leq p)\)` est la différence moyenne de `\(Y\)` quand `\(\mathrm{X}_j\)` augmente d'une unité, *ceteris paribus*.
  - si pas d'interaction ou de fonctions impliquant `\(\mathrm{X}_j\)` etc.

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## Données `intention`

- Dans le cadre d’une étude réalisée au Tech3Lab, des cobayes devaient naviguer sur un site internet qui contenait, entre autres choses, une
publicité pour des bonbons.
- Pendant la navigation, un oculomètre mesurait l’endroit où se posait
le regard du sujet. On a ainsi pu mesurer si le sujet a regardé la publicité et la durée du visionnement.
- Un logiciel d’analyse des expressions faciales (FaceReader) a été utilisé pour mesurer l’émotion du sujet pendant qu’il regardait la publicité.
- À la fin de l’expérience, un questionnaire mesurait l’intention d’achat du sujet pour ces bonbons, ainsi que des variables socio-démographiques.

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## Objectifs de l'étude

Évaluer si

1. il y a un lien entre la durée de la fixation de la publicité
et l’intention d’achat
2. l’émotion perçue est liée à l’intention d’achat.

Seuls les 120 sujets qui ont regardé la publicité sont inclus dans les données `intention`.

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## Description des données

-  `intention`:  variable discrète entre 2 et 14; plus elle est élevée, plus le sujet exprime l’intention d’acheter ce produit. Le score a été construit en additionnant les réponses de deux questions sur une échelle de Likert allant de fortement en désaccord (1) à fortement en accord (7).
-  `fixation`: durée totale de fixation de la publicité (en secondes).
-  `emotion`: une mesure de la valence durant la fixation, soit le ratio de la probabilité d’une émotion positive sur la probabilité d’une émotion négative.

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-  `sexe`: sexe du sujet, soit homme (0) ou femme (1).
-  `age`: âge du sujet (en années).
-  `statut`: statut matrimonial, soit célibaire (0) ou en couple (1).
-  `revenu`: variable catégorielle indiquant le revenu annuel du sujet; un parmi
(`1`) `\([0,  20\ 000]\)`;
(`2`) `\([20\ 000,  60\ 000]\)`;
(`3`) `\(60\ 000\)` et plus
-  `educ`: variable catégorielle indiquant le niveau d’éducation, soit le plus haut grade obtenu
(`1`) secondaire ou moindre;
(`2`) collégial;
(`3`) universitaire.

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## Analyse exploratoire des données

.panelset[

.panel[.panel-name[code SAS]

```sas
proc means data=modstat.intention mean std min max maxdec=2;
var intention sexe age statut fixation emotion;
run;

proc freq data=modstat.intention;
tables intention revenu educ;
run;

proc sgplot data=modstat.intention;
histogram intention emotion;
run;

```
]

.panel[.panel-name[sortie SAS (1)]

]
.panel[.panel-name[sortie SAS (2)]

]
]
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## Terminologie

- variable **réponse** ( `\(Y\)` ) ou régressande: variable d’intérêt
- variables **explicatives**, **covariables**, régresseurs ou prédicteurs ( `\(\mathbf{X}\)` ): variables potentiellement liées à `\(Y\)`.

Dans notre exemple, on a

- variable réponse: `intention`,
- variables explicatives ( `\(\mathbf{X}\)` ): `fixation`, `emotion`, `sexe`, `age`, `revenu`, `educ`, `statut`.

On cherche à mesurer l’effet de `fixation` et `emotion` sur la variable
`intention` en tenant compte des variables socio-démographiques

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### Modèle linéaire simple

Considérons un modèle avec `\(\texttt{fixation}\)` comme unique régresseur.

.panelset[

.panel[.panel-name[code SAS]

```sas
proc sgplot data=modstat.intention noautolegend;
scatter y=intention x=fixation;
reg y=intention x=fixation;
yaxis label="intention d'achat";
xaxis label="temps de fixation (en secondes)";
run;

proc glm data=modstat.intention;
 *Imprimer seulement les coefficients;
ods select ParameterEstimates;
model intention=fixation;
run;
```

]

.panel[.panel-name[Nuage de points]

]

.panel[.panel-name[Estimés]

La droite ajustée est

`\begin{align*}
\widehat{\texttt{intention}} = 6.45 + 1.14 \texttt{fixation}
\end{align*}`

Problèmes?
]

]

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## Spécification de variables catégorielles en **SAS**

- La commande `class` crée une variable catégorielle (collection de variables binaires).
- La catégorie de référence est spécifiée à l'aide de `ref`; par défaut, c'est la première valeur rencontrée.
- Dans **R**, l'analogue est `factor` et la référence est la première valeur en ordre alphanumérique.

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## Variable explicative binaire

Soit un modèle linéaire avec `\(\texttt{sexe}\)` comme seul régresseur.

.panelset[

.panel[.panel-name[code SAS]

```sas
proc glm data=modstat.intention;
ods select ParameterEstimates;
model intention=sexe;
run;

/* Si pas codé avec 0/1, utiliser "class" */
proc glm data=modstat.intention;
class sexe(ref="0");
model intention=sexe / solution;
run;
```

]

.panel[.panel-name[Estimés]

Le modèle postulé est
`\begin{align*}
\texttt{intention} = \beta_0 + \beta_1 \texttt{sexe} + \varepsilon
\end{align*}`

]

.panel[.panel-name[Interprétation]

-  La moyenne du score d’intention d’achat des hommes est de 7.55
points.
- La moyenne du score d’intention d’achat des femmes est de 8.92
points.
L’estimé de la « pente » est `\(\widehat{\beta}_1=\)` 1.37, soit une augmentation de l’intention moyenne d’achat de 1.37 points pour les femmes par
rapport à la moyenne des hommes.

]
]

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## Variables explicatives catégorielles

-  Les variables  `\(\texttt{revenu}\)` et `\(\texttt{educ}\)` sont catégorielles et chacune a trois niveaux.
-  L’inclusion d’une variable catégorielle à `\(k\)` niveaux requiert `\(k-1\)`
variables explicatives additionnelles dans le modèle. Par exemple
  -  `educ1 = 1` si `\(\texttt{educ = 1}\)` et zéro sinon.
  -  `educ2 = 1` si `\(\texttt{educ = 2}\)` et zéro sinon.

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Si le modèle contient l’ordonnée à l’origine, inclure une troisième variable binaire est superflu.

|`educ` | ordonnée à l'origine | `educ1` | `educ2`|
|:--:|:--:|:--:|:--:|
| `1` | `\(1\)` | `\(1\)` | `\(0\)` |
| `2` | `\(1\)` | `\(0\)` | `\(1\)` |
| `3` | `\(1\)` | `\(0\)` | `\(0\)` |

-  Quand `\(\texttt{educ}=3\)` (référence), les deux indicatrices sont nulles.

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## Ajuster le modèle avec des indicatrices

Pour ajuster le modèle, on peut remplacer `\(\texttt{educ}\)` par les deux indicatrices

.panelset[

.panel[.panel-name[code SAS (1)]

```sas
data intention; 
set modstat.intention; 
educ1=(educ=1); 
educ2=(educ=2); 
run;

proc glm data=intention; 
ods select ParameterEstimates;
model intention=educ1 educ2; 
run;

/* Alternative avec `class` */
proc glm data=modstat.intention; 
ods select ParameterEstimates;
class educ(ref="3"); 
model intention=educ / solution; 
run;
```

]
.panel[.panel-name[sortie SAS (1)]

<img src="img/c2/diapos3-e7.png" width="55%" style="display: block; margin: auto;" />
]
.panel[.panel-name[sortie SAS (2)]

Les résultats sont identiques selon que l'on crée les indicateurs manuellement ou avec `class`.

]
]

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## Interprétation des effets différentiels

-  La moyenne empirique de l'intention pour les trois catégories d'éducation est  `\(8.77, 8.71\)`, et `\(7.11\)` pour respectivement `\(\texttt{1}\)`, `\(\texttt{2}\)` et `\(\texttt{3}\)`.
-  La moyenne d' `\(\texttt{intention}\)` est `\(1.65\)` points plus élevée quand `\(\texttt{educ}=\texttt{1}\)` que quand `\(\texttt{educ}=\texttt{3}\)`, etc.
-  Pour comparer `\(\texttt{educ}=\texttt{1}\)` et `\(\texttt{educ}=\texttt{2}\)`, on pourrait réajuster le modèle en changeant la catégorie de référence (exercice).

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## Commentaire sur la commande `class`

- Dans **SAS**, les noms des niveaux de la variable catégorielles sont sensibles à la casse à l'intérieur de `class`, par exemple, `class echelon(ref="ProfAdjoint")`
- **SAS** n'imprimer pas le tableau des coefficients lorsque `class` est spécifié, hormis si `/ solution` est ajouté à la ligne contenant l'appel à `model`.